[2011.03.12] Fermi Problem

작성 - 2011.03.12
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1년전 영재교육원에서 내준 방학숙제 였답니다.


정리해서 써봤습니다.

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페르미 추정/문제 [ Fermi Problem ]


원자력의 아버지라고 부르는 페르미가 만들어낸 사고법으로 근사화, 하나의 가정 등을 명백히 하는 것이 중요함을 가르치기 위해 설계된 추정 문제. 일반적으로 얻을 수 있는 제한된 정보를 가지고 계산이 불가능해보이는 문제를 풀어내는 방법, 이러한 문제 해결을 통해 보다 폭넓은 사고와 두뇌 회전을 얻을 수 있다. ( 관련기사 : http://www.jejunews.com/news/articleView.html?idxno=340980# )


Enrico Fermi (1901~1954)

  
페르미는 시카고 대학 물리학 수업의 학생들에게 황당한 질문을 자주했다. 그 중 하나가 “시카고에 피아노 조율사는 몇 명 있을까?”였다. 단순 암기법에 익숙한 학생들이나 피아노를 못 치는 학생들은 문제풀기를 아예 포기했다. 페르미가 강조한 것은 제한된 시간과 부족한 자료 속에서도 생각의 힘만으로 알아내는 것이었다. 페르미 추정과정은 다음과 같다.


 [문제,Problem] : 시카고에 있는 피아노 조율사의 수는?
        ( How many piano tuners are there in Chicago? )


 [풀이,Solution] : 가정(assumptions) : 시카고에는 약 500만명이 살고 있다.
                                                      한 가구에는 평균 2명이 살고 있다.
                                                      정기적으로 피아노 조율을 받는 가구는 대략 20 곳 중에 하나이다.
                                                      정기적으로 피아노 조율을 받는 피아노는 평균 일년에 한번 조율을 한다.
                                                      피아노 조율사가 피아노 한대를 조율할 때 필요한 시간은 약 2시간이다.
                                                      피아노 조율사는 하루 평균 8시간, 일주일에 5일, 일년에 50주 한다.


                              풀이(solution) : 시카고에서 일년에 조율을 받는 피아노의 수
                                                     5000000 × (1가구/2명) × (1피아노/20가구) × (1조율/1피아노/1년) = 12,5000 조율/일년
                                                     피아노 조율사가 일년에 조율을 하는 피아노의 수
                                                     (50주/1년) × (5일/1주) × (8시간/1일) × (1조율/2시간/1조율사) = 1000조율/1년/1조율사
                                                     시카고에 있는 피아노 조율사의 수 (12,5000조율/1년) / (1,000 조율/1년/1조율사) = 125 피아노 조율사


 페르미 문제의 특징


＃문제에 주어진 제한된 정보 (given limited available information)
＃제한된 정보 때문에 답을 계산하기 어려워 보임
＃합당한 여러 가정들(assumptions)을 통해서 답을 유추
＃검증을 해서 답이 타당하다는(reasonable) 것을 보임
＃편지 봉투 뒷면에 푸는 계산 (back-of-the-envelope calculation)
＃얼핏 보면 어려운 문제의 답을 근사적으로(approximately) 구함
＃양의 대략적인 크기(order of magnitude)가 중요
＃크기가 10의 몇 승(power of ten)인가 결정
＃복잡한 문제의 답을 빠르게 잘 점검(a good quick check)하는데 유용
＃어림 계산(estimate)이 문제에 대한 통찰력(insight) 제공
＃더 정확하게(more accurately) 문제를 해결하기 위해서는 어떤 양을 더  잘 이해(a better understanding)해야 하는지 알 수 있게 됨
＃빠른 근사값 구하기 (obtaining of a quick approximation)
＃제멋대로가 아닌 의미가 있는 교양 있는 추측(educated guess)을 이용
＃정확한 계산이 아닌 어림 계산 (rounded calculation)
＃논리적인 상상력(logical imagination)이 중요함
＃간단한 논리적 추론 (simple logical reasoning)
  -> 근사적인 해 (approximate answer) 
＃각 단계(step)에서 불확실성(uncertainty)이 서로 상쇄, 균형(balance)
＃보통 100 배 (a factor of two) 범위 내에서  타당한(reasonable) 답
＃주어진 정보가 무엇이며, 무엇을 구해야만 하는가를 이해한다.
＃주어지지 않은 정보(missing information)가 무엇인지 알아본다.
＃어떤 가정들(assumptions)을 할 것인가 결정한다.
＃문제의 답을 어림 계산(estimate)으로 구한다.
＃답이 타당한가(reasonable)를 검사한다.
＃문제를 해결하는 다른 방법(another way)이 있는지 연구한다.
 
 페르미 문제에 관련된 에피소드
 
 다음은 그의 1945년 일기이다.
 
 
 1945년 7월 16일, 트리티니 현장에서의 관찰
 7월 16일 아침, 나는 폭발 지점에서 10마일 정도 떨어진 트리니티 베이스캠프에 있었다.
 폭발은 아침 5시 30분 경에 일어났다. 나는 어두운 용접 유리조각을 댄 커다란 보드로 얼굴을 보호하고 있었다. 폭발에 대한 내 첫 인상은 매우 강렬한 불빛과, 노출된 내 몸 부위에 닿는 열의 느낌이었다. 나는 직접 보지는 않았지만, 갑자기 온 지방이 한낮보다도 밝아졌다는 인상을 받았다. 난 이윽고 어두운 유리를 통해 폭발 방향을 바라봤고, 화염이 뭉친 것처럼 보이는 무언가가 곧이어 솓구쳐 오르는 것을 목격했다. 몇 초 뒤에, 솓구친 화염은 광채를 잃었으며, 거대한 버섯 모양으로 뻗은 머리를 가진 엄청난 연기 기둥은 구름을 뚫고 상승하여 3만 피트 정도에 이르는 높이까지 올라갔다. 최고점에 도달한 뒤에, 연기는 바람에 흩어지기 전에 얼마 동안 가만히 멎어 있었다.
 폭발 후 약 40초가 지나자, 폭풍이 내게 닿았다. 나는 충격파가 지나가기 이전과, 도중과, 나중에 각각 작은 종이 조각들을 약 6피트 높이에서 떨어뜨려 그 폭발력을 추정해봤다. 그 때 마침 바람이 불지 않았기에, 나는 폭풍이 지나가는 도중에 떨어진 종이 조각들의 변위를 명확하고 사실적으로 측정할 수 있었다. 변위는 약 2.5미터 정도였고, 그때 나는 이 정도의 폭풍이면 TNT 1만 톤의 폭발 위력에 해당한다고 추산했다.


 후에 트리티니 현장에 참여한 과학자들이 그 당시 최고의 기술을 사용하여 위력을 알아보자 페르미가 계산한 결과와 거의 일치했다고 전해진다.